Os números naturais — um, dois, três, e assim por diante — são os números de contar, o sistema numérico mais básico sobre o qual a matemática se constrói, usados originalmente para a tarefa mais simples possível: contar coisas distintas e inteiras. Todos os sistemas numéricos mais ricos que surgiram depois — os inteiros, que incluem os números negativos; os racionais, que incluem as frações; os reais, que incluem números que não podem ser escritos como nenhuma fração — foram construídos especificamente para responder a uma pergunta matemática que os números naturais, sozinhos, genuinamente não conseguiam resolver.
Cada sistema numérico ampliado foi construído para corrigir uma operação específica que o anterior não resolvia
Os números naturais, sozinhos, não conseguem representar o resultado de uma subtração como três menos cinco, já que nenhum número natural descreve uma quantidade genuinamente negativa, e é exatamente esse o espaço que os inteiros foram introduzidos para preencher. Os inteiros, sozinhos, ainda não conseguem representar o resultado de uma divisão como um a dividir por três, já que nenhum inteiro capta exatamente esse valor intermédio, e é exatamente esse o espaço que os números racionais foram introduzidos para preencher. E os números racionais, sozinhos, ainda não conseguem representar certos comprimentos que surgem naturalmente na geometria, como a diagonal de um quadrado unitário, e é exatamente esse o espaço que os números reais foram eventualmente introduzidos para preencher.
Esta construção em camadas significa que cada sistema numérico mais rico contém silenciosamente os anteriores
Cada uma destas extensões sucessivas foi construída especificamente para conter intacto o sistema anterior, mais limitado, ao mesmo tempo que acrescenta exatamente os números novos necessários para fazer a operação problemática funcionar de facto, o que significa que todo o número natural é também um inteiro, todo o inteiro é também um número racional, e todo o número racional é também um número real — camadas encaixadas, e não sistemas separados e concorrentes. Esta estrutura encaixada é exatamente a razão pela qual os matemáticos conseguem mover-se fluidamente entre estes diferentes sistemas numéricos consoante aquilo que um dado problema realmente exige, confiantes de que tudo o que é verdadeiro para os números naturais continua a sê-lo quando visto dentro de qualquer um dos sistemas maiores construídos sobre eles.
Do que ainda não temos a certeza
Que os números naturais formam a base fundacional sobre a qual cada sistema numérico sucessivamente mais rico foi construído para se expandir, fechando uma lacuna operacional específica que o sistema anterior deixava em aberto, é matemática bem estabelecida e rigorosamente formalizada, confirmada desde o tratamento axiomático cuidadoso dos sistemas numéricos no final do século XIX. O que é mais genuinamente uma questão de interesse fundacional e filosófico em curso é exatamente o que os números naturais, em si, fundamentalmente são — se são melhor compreendidos como conjuntos, como símbolos puramente formais manipulados por regras fixas, ou como outra coisa qualquer — e os filósofos e os matemáticos dedicados aos fundamentos continuam a debater exatamente qual a caracterização formal que melhor capta o que um número natural genuinamente é, em vez de essa questão fundacional estar totalmente resolvida.
Isto insere-se em Números Naturais e Sistemas Numéricos, um dos sete tópicos em Aritmética, um dos sete domínios em Matemática, uma das dezassete disciplinas sobre as quais a app te pode fazer perguntas.