Los números naturales, uno, dos, tres y así sucesivamente, son los números para contar, el sistema numérico más básico sobre el que se construyen las matemáticas, usado originalmente para la tarea más sencilla posible: contar cosas enteras y distintas. Todos los sistemas numéricos más ricos que llegaron después —los enteros, que incluyen los números negativos; los números racionales, que incluyen las fracciones; los números reales, que incluyen números que no se pueden escribir como ninguna fracción— se construyeron específicamente para responder a una pregunta matemática que los números naturales por sí solos realmente no podían resolver.
Cada sistema numérico ampliado se construyó para arreglar una operación concreta que el anterior no soportaba
Los números naturales por sí solos no pueden representar el resultado de una resta como tres menos cinco, ya que ningún número natural describe una cantidad genuinamente negativa, que es exactamente el vacío que los números enteros se introdujeron para llenar. Los números enteros por sí solos todavía no pueden representar el resultado de una división como uno entre tres, ya que ningún número entero capta exactamente ese valor intermedio, que es exactamente el vacío que los números racionales se introdujeron para llenar. Y los números racionales por sí solos todavía no pueden representar ciertas longitudes que surgen de forma natural en geometría, como la diagonal de un cuadrado unitario, que es exactamente el vacío que los números reales se introdujeron finalmente para llenar.
Esta construcción por capas hace que cada sistema numérico más rico contenga, sin hacer ruido, a los anteriores
Cada una de estas extensiones sucesivas se construyó específicamente para contener intacto el sistema anterior, más limitado, añadiendo exactamente los nuevos números necesarios para que la operación problemática funcionara de verdad, lo que significa que todo número natural es también un número entero, todo número entero es también un número racional, y todo número racional es también un número real: capas anidadas en lugar de sistemas independientes y en competencia. Esta estructura anidada explica exactamente por qué los matemáticos pueden moverse con fluidez entre estos distintos sistemas numéricos según lo que exija un problema concreto, con la confianza de que lo que es cierto para los números naturales sigue siendo cierto una vez que se los observa dentro de cualquiera de los sistemas más amplios construidos sobre ellos.
Lo que todavía no tenemos claro
Que los números naturales formen la base fundacional que cada sistema numérico sucesivamente más rico se construyó para ampliar, cerrando un vacío operativo concreto que el sistema anterior dejaba abierto, es matemática bien establecida y rigurosamente formalizada, confirmada desde el cuidadoso tratamiento axiomático de los sistemas numéricos de finales del siglo XIX. Lo que sigue siendo, con más razón, objeto de interés fundacional y filosófico en curso es qué son fundamentalmente los propios números naturales, si se entienden mejor como conjuntos, como símbolos puramente formales manipulados según reglas fijas, o como alguna otra cosa, y filósofos y matemáticos dedicados a los fundamentos siguen debatiendo exactamente qué caracterización formal capta mejor lo que un número natural realmente es, en lugar de que esa cuestión fundacional esté ya del todo zanjada.
Esto se encuadra dentro de Números Naturales y Sistemas Numéricos, uno de los siete temas de Aritmética, uno de los siete ámbitos de Matemáticas, una de las diecisiete materias sobre las que la app puede ponerte a prueba.