Liczby naturalne, jeden, dwa, trzy i tak dalej, to liczby do liczenia, najbardziej podstawowy system liczbowy, na którym zbudowana jest matematyka, używany pierwotnie do najprostszego możliwego zadania – liczenia odrębnych, całych rzeczy. Każdy bogatszy system liczbowy, który powstał później – liczby całkowite obejmujące liczby ujemne, liczby wymierne obejmujące ułamki, liczby rzeczywiste obejmujące liczby, których nie da się zapisać w postaci żadnego ułamka – został zbudowany specjalnie po to, by odpowiedzieć na pytanie matematyczne, z którym same liczby naturalne rzeczywiście nie potrafiły sobie poradzić.
Każdy rozszerzony system liczbowy został zbudowany, by naprawić konkretne działanie, które psuł poprzedni
Same liczby naturalne nie potrafią przedstawić wyniku odejmowania takiego jak trzy minus pięć, ponieważ żadna liczba naturalna nie opisuje wielkości naprawdę ujemnej, co jest dokładnie luką, którą wprowadzono liczby całkowite, by zamknąć. Same liczby całkowite wciąż nie potrafią przedstawić wyniku dzielenia takiego jak jeden podzielone przez trzy, ponieważ żadna liczba całkowita nie oddaje dokładnie tej pośredniej wartości, co jest dokładnie luką, którą wprowadzono liczby wymierne, by zamknąć. A same liczby wymierne wciąż nie potrafią przedstawić pewnych długości pojawiających się naturalnie w geometrii, jak przekątna kwadratu jednostkowego, co jest dokładnie luką, którą ostatecznie wprowadzono liczby rzeczywiste, by zamknąć.
Ta warstwowa konstrukcja oznacza, że każdy bogatszy system liczbowy po cichu zawiera te wcześniejsze
Każde z tych kolejnych rozszerzeń zostało zbudowane specjalnie tak, by zawierać poprzedni, bardziej ograniczony system w całości, dodając dokładnie te nowe liczby, które są potrzebne, by problematyczne działanie faktycznie zaczęło działać, co oznacza, że każda liczba naturalna jest też liczbą całkowitą, każda liczba całkowita jest też liczbą wymierną, a każda liczba wymierna jest też liczbą rzeczywistą – zagnieżdżone warstwy, a nie odrębne, konkurujące ze sobą systemy. Ta zagnieżdżona struktura jest dokładnie tym, dlaczego matematycy mogą płynnie przechodzić między tymi różnymi systemami liczbowymi w zależności od tego, czego dany problem faktycznie wymaga, mając pewność, że wszystko, co jest prawdziwe dla liczb naturalnych, pozostaje prawdziwe również wtedy, gdy spojrzeć na nie w ramach dowolnego z większych systemów zbudowanych na nich.
Czego wciąż nie jesteśmy pewni
To, że liczby naturalne tworzą fundamentalną bazę, którą każdy kolejny, bogatszy system liczbowy został zbudowany, by rozszerzyć, zamykając konkretną lukę operacyjną pozostawioną otwartą przez poprzedni system, to dobrze ugruntowana, rygorystycznie sformalizowana matematyka potwierdzona od starannego aksjomatycznego ujęcia systemów liczbowych z końca XIX wieku. Tym, co pozostaje przedmiotem żywego zainteresowania podstaw matematyki i filozofii, jest to, czym dokładnie liczby naturalne fundamentalnie są – czy najlepiej rozumieć je jako zbiory, jako czysto formalne symbole manipulowane według ustalonych reguł, czy jako coś jeszcze innego – a filozofowie i matematycy zajmujący się podstawami wciąż spierają się, które formalne ujęcie najlepiej oddaje to, czym naprawdę jest liczba naturalna – to podstawowe pytanie nie jest wcale w pełni rozstrzygnięte.
To mieści się w Liczbach naturalnych i systemach liczbowych, jednym z siedmiu tematów w Arytmetyce, jednej z siedmiu dziedzin w Matematyce, jednym z siedemnastu przedmiotów, z których aplikacja może cię odpytać.