Natuurlijke getallen, één, twee, drie en verder, zijn de telgetallen, het meest basale getalsysteem waarop de wiskunde is gebouwd, oorspronkelijk gebruikt voor de eenvoudigste denkbare taak: het tellen van afzonderlijke, hele dingen. Elk rijker getalsysteem dat daarna kwam, gehele getallen inclusief negatieve getallen, rationale getallen inclusief breuken, reële getallen inclusief getallen die als helemaal geen enkele breuk geschreven kunnen worden, werd specifiek geconstrueerd om een wiskundige vraag te beantwoorden die de natuurlijke getallen alleen werkelijk niet aankonden.
Elk uitgebreid getalsysteem werd gebouwd om een specifieke bewerking te herstellen die het vorige systeem stukmaakte
Natuurlijke getallen alleen kunnen het antwoord op een aftrekking zoals drie min vijf niet weergeven, aangezien geen enkel natuurlijk getal een werkelijk negatieve hoeveelheid beschrijft, en precies dat gat werden gehele getallen geïntroduceerd om te dichten. Gehele getallen alleen kunnen nog steeds het antwoord op een deling zoals één gedeeld door drie niet weergeven, aangezien geen enkel geheel getal die tussenliggende waarde precies vastlegt, en precies dat gat werden rationale getallen geïntroduceerd om te dichten. En rationale getallen alleen kunnen nog steeds bepaalde lengtes die van nature in de meetkunde voorkomen niet weergeven, zoals de diagonaal van een eenheidsvierkant, en precies dat gat werden reële getallen uiteindelijk geïntroduceerd om te dichten.
Deze gelaagde constructie betekent dat elk rijker getalsysteem stilzwijgend de eerdere systemen bevat
Elk van deze opeenvolgende uitbreidingen werd specifiek gebouwd om het vorige, beperktere systeem intact te bevatten en tegelijk precies de nieuwe getallen toe te voegen die nodig waren om de problematische bewerking daadwerkelijk te laten werken, wat betekent dat elk natuurlijk getal ook een geheel getal is, elk geheel getal ook een rationaal getal is, en elk rationaal getal ook een reëel getal is — geneste lagen in plaats van afzonderlijke, concurrerende systemen. Precies deze geneste structuur verklaart waarom wiskundigen soepel kunnen bewegen tussen deze verschillende getalsystemen, afhankelijk van wat een gegeven probleem daadwerkelijk vereist, met het vertrouwen dat wat waar is voor natuurlijke getallen waar blijft zodra ze bekeken worden binnen elk van de grotere systemen die daarbovenop gebouwd zijn.
Waar we nog niet zeker van zijn
Dat natuurlijke getallen de fundamentele basis vormen waarop elk opeenvolgend rijker getalsysteem werd gebouwd om uit te breiden, waarbij een specifiek operationeel gat werd gedicht dat het vorige systeem openliet, is welgevestigde, streng geformaliseerde wiskunde, bevestigd sinds de zorgvuldige axiomatische behandeling van getalsystemen aan het einde van de negentiende eeuw. Wat werkelijk nog onderwerp is van voortdurende funderingswiskundige en filosofische interesse, is precies wat natuurlijke getallen zelf in de kern zijn — of ze het best begrepen worden als verzamelingen, als puur formele symbolen die gemanipuleerd worden volgens vaste regels, of als iets anders — en filosofen en funderingswiskundigen blijven debatteren over welke formele karakterisering het beste vastlegt wat een natuurlijk getal werkelijk is, in plaats van dat die funderende vraag volledig is opgelost.
Dit valt onder Natuurlijke Getallen & Getalsystemen, een van de zeven onderwerpen binnen Rekenen, een van de zeven domeinen binnen Wiskunde, een van de zeventien vakken waarover de app je kan overhoren.