Les nombres naturels, un, deux, trois et ainsi de suite, sont les nombres à compter, le système numérique le plus élémentaire sur lequel les mathématiques sont bâties, utilisé à l'origine pour la tâche la plus simple qui soit : compter des choses distinctes et entières. Chaque système numérique plus riche apparu par la suite, les entiers relatifs incluant les nombres négatifs, les nombres rationnels incluant les fractions, les nombres réels incluant les nombres qui ne peuvent s'écrire sous aucune forme de fraction, a été construit spécifiquement pour répondre à une question mathématique que les nombres naturels seuls ne pouvaient véritablement pas résoudre.
Chaque système numérique étendu a été construit pour corriger une opération précise que le précédent ne parvenait pas à résoudre
Les nombres naturels seuls ne peuvent pas représenter le résultat d'une soustraction comme trois moins cinq, puisqu'aucun nombre naturel ne décrit une quantité véritablement négative, ce qui est exactement le vide que les entiers relatifs ont été introduits pour combler. Les entiers relatifs seuls ne peuvent toujours pas représenter le résultat d'une division comme un divisé par trois, puisqu'aucun entier ne capture exactement cette valeur intermédiaire, ce qui est exactement le vide que les nombres rationnels ont été introduits pour combler. Et les nombres rationnels seuls ne peuvent toujours pas représenter certaines longueurs qui apparaissent naturellement en géométrie, comme la diagonale d'un carré unité, ce qui est exactement le vide que les nombres réels ont fini par être introduits pour combler.
Cette construction par couches fait que chaque système numérique plus riche contient discrètement les précédents
Chacune de ces extensions successives a été construite spécifiquement pour contenir intact le système précédent, plus limité, tout en ajoutant exactement les nouveaux nombres nécessaires pour que l'opération problématique fonctionne réellement, ce qui signifie que tout nombre naturel est aussi un entier relatif, que tout entier relatif est aussi un nombre rationnel, et que tout nombre rationnel est aussi un nombre réel — des couches emboîtées plutôt que des systèmes séparés et concurrents. Cette structure emboîtée explique précisément pourquoi les mathématiciens peuvent passer avec fluidité d'un système numérique à l'autre selon ce qu'exige réellement un problème donné, avec la certitude que tout ce qui est vrai pour les nombres naturels reste vrai une fois qu'on les considère à l'intérieur de n'importe lequel des systèmes plus vastes bâtis par-dessus.
Ce dont on n'est pas encore certain
Le fait que les nombres naturels constituent la base fondatrice que chaque système numérique successivement plus riche a été construit pour étendre, en comblant un vide opérationnel précis laissé ouvert par le système précédent, relève de mathématiques bien établies et rigoureusement formalisées, confirmées depuis le traitement axiomatique minutieux des systèmes numériques à la fin du dix-neuvième siècle. Ce qui relève davantage d'un véritable intérêt fondationnel et philosophique en cours, c'est ce que sont fondamentalement les nombres naturels eux-mêmes, qu'il vaille mieux les comprendre comme des ensembles, comme de purs symboles formels manipulés selon des règles fixes, ou comme autre chose encore ; les philosophes et les mathématiciens des fondements continuent de débattre de la caractérisation formelle qui saisit le mieux ce qu'est véritablement un nombre naturel, plutôt que cette question fondationnelle n'étant pleinement réglée.
Ceci s'inscrit dans Nombres naturels et systèmes numériques, l'un des sept sujets en Arithmétique, l'un des sept domaines en Mathématiques, l'une des dix-sept matières sur lesquelles l'appli peut t'interroger.