I numeri naturali, uno, due, tre e così via, sono i numeri per contare, il sistema numerico più elementare su cui si fonda la matematica, usato in origine per il compito più semplice possibile: contare cose distinte e intere. Ogni sistema numerico più ricco venuto dopo — gli interi, che includono i numeri negativi, i numeri razionali, che includono le frazioni, i numeri reali, che includono numeri che non possono essere scritti come alcuna frazione — è stato costruito appositamente per rispondere a una domanda matematica a cui i numeri naturali da soli non riuscivano davvero a rispondere.
Ogni sistema numerico esteso fu costruito per correggere un'operazione specifica che il precedente non riusciva a gestire
I soli numeri naturali non possono rappresentare il risultato di una sottrazione come tre meno cinque, poiché nessun numero naturale descrive una quantità genuinamente negativa, e questo è esattamente il vuoto che gli interi furono introdotti per colmare. I soli numeri interi non possono ancora rappresentare il risultato di una divisione come uno diviso tre, poiché nessun intero coglie esattamente quel valore intermedio, e questo è esattamente il vuoto che i numeri razionali furono introdotti per colmare. E i soli numeri razionali non possono ancora rappresentare certe lunghezze che sorgono naturalmente in geometria, come la diagonale di un quadrato unitario, e questo è esattamente il vuoto che i numeri reali furono infine introdotti per colmare.
Questa costruzione a strati fa sì che ogni sistema numerico più ricco contenga silenziosamente quelli precedenti
Ciascuna di queste estensioni successive fu costruita appositamente per contenere intatto il sistema precedente, più limitato, aggiungendo esattamente i nuovi numeri necessari a far funzionare davvero l'operazione problematica, il che significa che ogni numero naturale è anche un numero intero, ogni numero intero è anche un numero razionale, e ogni numero razionale è anche un numero reale: strati annidati, non sistemi separati e in competizione tra loro. Questa struttura annidata è esattamente il motivo per cui i matematici possono muoversi con fluidità tra questi diversi sistemi numerici a seconda di ciò che un determinato problema richiede effettivamente, con la certezza che tutto ciò che vale per i numeri naturali continua a valere anche quando vengono osservati all'interno di uno qualsiasi dei sistemi più ampi costruiti sopra di essi.
Ciò di cui siamo ancora incerti
Che i numeri naturali costituiscano la base fondativa che ogni sistema numerico successivamente più ricco fu costruito per estendere, colmando uno specifico vuoto operativo lasciato aperto dal sistema precedente, è matematica solidamente accertata e rigorosamente formalizzata, confermata sin dal trattamento assiomatico accurato dei sistemi numerici sviluppato alla fine dell'Ottocento. Ciò che rimane più genuinamente oggetto di interesse fondazionale e filosofico in corso è che cosa siano fondamentalmente i numeri naturali in sé, se siano meglio intesi come insiemi, come simboli puramente formali manipolati secondo regole fisse, o come qualcos'altro ancora, e filosofi e matematici fondazionalisti continuano a discutere esattamente quale caratterizzazione formale colga meglio ciò che un numero naturale è realmente, poiché questa questione fondazionale è tutt'altro che pienamente risolta.
Questo argomento rientra in Numeri naturali e sistemi numerici, uno dei sette argomenti di Aritmetica, uno dei sette ambiti di Matematica, una delle diciassette materie su cui l'app può interrogarti.