Une primitive d'une fonction est une autre fonction dont la dérivée redonne la fonction d'origine. Trouver une intégrale indéfinie revient à trouver une primitive, mais la réponse n'est en réalité jamais une seule fonction — c'est toute une famille de fonctions, qui ne diffèrent que par une constante, ce qui explique pourquoi la réponse de toute intégrale indéfinie s'écrit avec un « plus C » attaché. Ce n'est pas une simple convention de notation ; cela reflète un véritable fait mathématique sur la manière dont les dérivées traitent les constantes.
Une constante ajoutée à une fonction disparaît dès qu'on la dérive
La dérivée d'une constante est toujours nulle, puisque le taux de variation d'une fonction constante n'est, par définition, rien du tout — elle ne change jamais. Cela signifie que si F(x) est une primitive d'une fonction f(x), alors F(x) plus n'importe quelle constante C est également une primitive de f(x), puisque dériver F(x) plus C donne exactement le même résultat que dériver F(x) seule, le terme constant ajouté disparaissant simplement au passage. Comme cela vaut pour toute valeur possible de C, il existe en réalité une infinité de primitives distinctes pour une fonction donnée, et non une unique réponse correcte.
La notation « plus C » capture toute cette famille en une seule expression
Plutôt que d'essayer d'énumérer individuellement chacune des infinies primitives possibles, la notation mathématique capture toute la famille d'un seul coup en écrivant une primitive particulière suivie de « plus C », où C représente une constante arbitraire pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle. Ce « plus C » est véritablement essentiel, et non décoratif : l'omettre fait passer la réponse de l'intégrale indéfinie d'une représentation correcte de toute la famille des primitives valides à la représentation d'un seul membre particulier de cette famille, ce qui constitue techniquement une réponse incomplète et incorrecte à ce qu'une intégrale indéfinie demande réellement. La constante n'est fixée à une valeur précise qu'une fois qu'une information supplémentaire, comme une condition initiale connue, est fournie séparément.
Ce dont on n'est pas encore certain
La raison pour laquelle toute intégrale indéfinie exige un « plus C », ainsi que le raisonnement sous-jacent reliant constantes et dérivées, relèvent d'un calcul infinitésimal précisément défini et établi, sans véritable ambiguïté mathématique. Ce qui varie davantage, c'est une question d'accent pédagogique : c'est un problème très couramment rapporté chez les enseignants de calcul infinitésimal que les étudiants oublient souvent le « plus C » par habitude une fois passés de l'intégration indéfinie pure à l'application des intégrales pour résoudre des problèmes concrets, et les différents cours varient quant à la sévérité avec laquelle ils pénalisent ou minimisent cette omission précise, plutôt qu'il n'existe une seule norme pédagogique universellement admise sur ce point.
Ceci s'inscrit dans Intégrales indéfinies et primitives, l'un des huit sujets en Calcul infinitésimal, l'un des sept domaines en Mathématiques, l'une des dix-sept matières sur lesquelles l'appli peut t'interroger.